Adek adek sekalian pada kesempatan kali ini kita akan
membahas bagaimanan penyelesaian soal persamaan kuadrat untuk menentukan nilai
maksimum atau minmum. Perlu kita ingat
beberapa hal mengenai persamaan kuadrat antara lain
·
Penyelesaian :
Oleh karena persamaan kuadrat yang diberikan sudah dalam bentuk titik puncak, maka koordinat titik puncaknya adalah (-5 , 3). Selanjutnya, karena koefisien dari x2 bernilai negatif (a < 0), maka titik puncak menghasilkan nilai maksimum, dengan nilai maksimum = -2(-5 + 5)2 + 3 = 3.
Penyelesaian :
Jika bentuk di atas diubah menjadi bentuk kuadrat sempurna, maka diperoleh :
Dengan demikian, titik puncaknya adalah (1,4) dan diperoleh nilai minimum karena koefisien dari x2 bernilai positif (a > 0), dengan nilai minimum = 3(1)1 - 6(1) + 7 = 4.
Penyelesaian :
Nilai maksimum atau minimum dari fungsi
kuarat terjadi pada puncaknya
Untuk
Y = ax2 + bx + c,
(c - b2/4a) memberikan nilai y (atau nilai dari fungsi) pada puncaknya.
(c - b2/4a) memberikan nilai y (atau nilai dari fungsi) pada puncaknya.
·
Jika nilai a positif, kita akan
mendapatkan nilai minimum
·
Jika nilai a negatif, kita akan
mendapatkan nilai maksimum
·
Nilai a tidak boleh nol, jika nol
maka kita tidak perlu mencarinya, kan?
Nah
itulah beberapa hal yang mungkin bisa jadi dasar kita
Dalam topik ini kalian akan belajar
menentukan nilai maksimum dan minimum dari suatu fungsi kuadrat berbentuk y =
ax2 + bx + c.
Apabila
diberikan sebuah fungsi kuadrat dalam bentuk y = ax2 + bx + c,
maka hal pertama yang perlu dilakukan adalah mengubahnya ke dalam bentuk titik
puncak sebagai berikut :
y - k = a(x - h)2 atau y = a(x - h)2 + k
Setelah fungsi kuadrat diubah ke dalam bentuk titik puncak, maka sangat mudah bagi kita untuk menemukan titik puncak dan menentukan nilai maksimum atau minimum fungsi.
y - k = a(x - h)2 atau y = a(x - h)2 + k
Setelah fungsi kuadrat diubah ke dalam bentuk titik puncak, maka sangat mudah bagi kita untuk menemukan titik puncak dan menentukan nilai maksimum atau minimum fungsi.
Lebih
lanjut, titik puncak dari bentuk y - k = a(x - h)2 atau y = a(x - h)2
+ k adalah (h, k).
- jika a > 0 maka kurva yang terbentuk akan terbuka ke bawah dan titik puncak memberikan nilai maksimum
- jika a > 0 maka kurva yang terbentuk akan terbuka ke atas dan titik puncak akan memberikan nilai minimum
Contoh 1 :
Tentukan titik puncak kurva y = -2(x + 5)2 + 3 kemudian tentukan nilai maksimum / minimumnya!
Tentukan titik puncak kurva y = -2(x + 5)2 + 3 kemudian tentukan nilai maksimum / minimumnya!
Penyelesaian :
Oleh karena persamaan kuadrat yang diberikan sudah dalam bentuk titik puncak, maka koordinat titik puncaknya adalah (-5 , 3). Selanjutnya, karena koefisien dari x2 bernilai negatif (a < 0), maka titik puncak menghasilkan nilai maksimum, dengan nilai maksimum = -2(-5 + 5)2 + 3 = 3.
Lebih
lanjut, fungsi kuadrat berbentuk y = ax2 + bx + c juga dapat diubah
menjadi bentuk kuadrat sempurna.
Contoh 2 :
Tentukan titik puncak dari y = 3x2 - 6x + 7
Tentukan titik puncak dari y = 3x2 - 6x + 7
Penyelesaian :
Jika bentuk di atas diubah menjadi bentuk kuadrat sempurna, maka diperoleh :
y = 3(x2
- 2x) + 7
y = 3(x2
- 2.1.x + 1 - 1) + 7
y = 3(x - 1)2
- 3 + 7
y = 3(x - 1)2
+ 4
Dengan demikian, titik puncaknya adalah (1,4) dan diperoleh nilai minimum karena koefisien dari x2 bernilai positif (a > 0), dengan nilai minimum = 3(1)1 - 6(1) + 7 = 4.
Hal terakhir
yang perlu diperhatikan adalah bagaimana cara menemukan titik puncak. Jika kita
perhatikan sebarang grafik persamaan kuadrat, terlihat bahwa titik puncak kurva
selalu berada di tengah-tengah, diantara kedua titik potong antara kurva dan
sumbu X. Dengan kata lain, jika akar-akar persamaan kuadrat diketahui, maka
absis titik puncak merupakan rata-rata dari kedua akar persamaan kuadrat.
Contoh 3 :
Tentukan titik puncak dari kurva y = 2x2 - 8x + 4
Tentukan titik puncak dari kurva y = 2x2 - 8x + 4
Penyelesaian :
Contoh 4
soal tentukan nilai maksimum dari f(x) = 23+ 2(x-4) -x2
f(x) = 23+ 2x-8 -x2
f(x) = -x2+
2x + 15
a = -1, b
= 2, c = 15
x = -b/2a
=
-2/(2(-1))
= 1
Nilai maksimum
f(-b/2a)
= f(1)
= -(1)2+
2(1) + 15
= -1 + 2 +
15
= 16
atau dengan menggunakan turunan:
f(x) = -x2+
2x + 15
Nilai stasioner diperoleh saat f '(x) = 0
-2x + 2 = 0
-2x =
-2
x =
1
f(1)
= -(1)^2 + 2(1) + 15
= -1 + 2 + 15